اگر با مفاهیم مجموعهها آشنا هستید، حالا وقت آن است که مهارت خود را در حل سؤالهای تستی محک بزنید. در این مقاله از مدرسه رفلاین، مجموعهای از سؤالات تستی این مبحث را از سطح متوسط تا چالشی و دشوار بررسی میکنیم و برتی هر سؤال، پاسخ تشریحی و نکات مهم را ارائه میدهیم.
اگر هنوز با مفاهیم پایهای مجموعهها و نحوهی نمایش آنها به زبان ریاضی آشنا نیستید، پیشنهاد میکنیم ابتدا مقالهی مجموعهها به زبان ریاضی | نوشتن اعضای مجموعه + مثال حل شده | ریاضی نهم را مطالعه کنید.
در ادامه با حل این تستها میتوانید میزان تسلط خود را بسنجید و برای موفقیت در آزمونهای تستی آماده شوید.
سؤال 1
پاسخ تشریحی:
چون دو مجموعهی A و B باهم برابرند، باید اعضای آنها یکسان باشند:
عدد 1 عضو مجموعهی B است؛ بنابراین باید در مجموعهی A نیز وجود داشته باشد. پس:
اکنون با قرار دادن 1 = x در مجموعههای A و B داریم:
از آنجا که مجموعهی A دو عضو دارد، با توجه به شرط برابر بودن تعداد اعضای دو مجموعهی مساوی، مجموعه B هم باید دو عضو داشته باشد. یعنی عبارت y + 2 باید برابر با 1 یا 2 باشد. بنابراین دو حالت داریم:
و در پایان y – x را به ازای هر دو مقدار بهدست آمده برای y محاسبه میکنیم:
توجه داشته باشید، سؤال کمترین مقدار y – x را خواسته که برابر با 2- است.
و گزینهی (الف) صحیح است.
سؤال 2
پاسخ تشریحی:
داریم:
پس هر یک از اعضای مجموعهی سمت چپ باید یکی از عددهای 2 یا 4 باشد:
پس:
و از طرفی مقدار y هم باید یکی از عددهای 2 یا 4 باشد:
حالا با توجه به مقدارهای بهدست آمده برای x و y، حالتهای ممکن برای x + y را بررسی میکنیم:
پس x + y میتواند برابر با 6، 8 یا 10 باشد؛ بنابراین عدد 7 نمیتواند مقدار x + y باشد.
و گزینهی (ب) صحیح است.
سؤال 3
پاسخ تشریحی:
با توجه به برابر بودن دو مجموعه، باید تعداد اعضای هر دو باهم برابر باشد. از آنجا که مجموعه سمت چپ دو عضو دارد، مجموعه سمت راست هم باید دو عضو داشته باشد. یعنی y یا y به توان 2، باید با 4 برابر باشند. پس حالتهای زیر را خواهیم داشت:
حالت اول: 4 = y
با قرار دادن مقدار 4 برای y در مجموعه سمت راست داریم:
با کمی دقت در اعضای دو مجموعه، مشخص است که برای تساوی آنها، باید مقدار x در مجموعه سمت چپ، برابر با 4 باشد؛ و در نتیجه:
و گزینهی (ج) حذف میشود.
حالت دوم: 2 = y
اینبار در مجموعه سمت راست مقدار y را برابر با 2 قرار میدهیم:
برای تساوی این دو مجموعه، باید مقدار x در مجموعه سمت چپ، برابر با 2 باشد؛ و داریم:
و گزینهی (الف) حذف میشود.
حالت سوم: 2 – = y
با قرار دادن مقدار 2 – برای y، داریم:
با کمی دقت متوجه میشویم، برای اینکه تساوی بالا برقرار باشد، باید مقدار x در مجموعه سمت چپ، برابر با 2 – باشد؛ و در نتیجه:
بنابراین گزینهی (ب) هم حذف میشود.
با توجه به مقادیر بهدست آمده برای x + y، در بین گزینه ها فقط عدد 8 – مقدار مناسبی نیست و از طرفی گزینههای (الف)، (ب) و (ج) حذف شدهاند.
پس گزینهی (د) صحیح است.
سؤال 4
پاسخ تشریحی:
ابتدا اطلاعات مسئله را یادداشت میکنیم:
حالا کافیست عددهای بالا را در فرمول محاسبه تعداد اعضای اجتماع سه مجموعه جایگذاری کنیم و تعداد اعضای اشتراک سه مجموعه را محاسبه کنیم:
و گزینهی (ب) صحیح است.
سؤال 5
پاسخ تشریحی:
مجموعهی داده شده دارای 10000 عضو است. با کمی دقت در اعضای مجموعه، متوجه میشویم؛ اعدادی که مربع عددهای طبیعی هستند عبارتند از:
زیرا:
پس 100 عضو مجموعهی داده شده، مربع عددهای طبیعی هستند. حالا میتوانیم درصد آنها را بهدست آوریم:
و گزینهی (الف) صحیح است.
سؤال 6
پاسخ تشریحی:
طبق صورت سؤال داریم:
یعنی وقتی اعضای 3 ,2 ,1 را از مجموعهی A حذف کنیم، فقط 4 و 5 باقی میماند.
پس حتماً 4 و 5 عضو A هستند و از طرفی هر کدام از عددهای 3 ,2 ,1 میتوانند عضو A باشند یا نباشند!
یعنی برای هر یک از سه عدد 3 ,2 ,1 دو انتخاب داریم:
- عضو A باشد.
- عضو A نباشد.
بنابراین تعداد حالتهای ممکن برای A به این صورت است:
به عنوان مثال دو تا از این حالتها به صورت زیر هستند:
و به همین ترتیب، تمام حالتهای مختلف با انتخاب یا عدم انتخاب 3 ,2 ,1 ساخته میشوند.
بنابراین گزینهی (ج) صحیح است.
سؤال 7
تعداد زیرمجموعههای مجموعهی A، هشت برابر تعداد زیرمجموعههای مجموعهی B است. مجموعهی C، سه عضو بیشتر از A دارد و تعداد زیرمجموعههایش 64 تا میباشد. کدام گزینه درست است؟
الف) B یک عضو دارد.
ب) B دو عضو از C کمتر دارد.
ج) B دارای 8 زیرمجموعه است.
د) B تهی است.
پاسخ تشریحی:
میدانیم تعداد زیرمجموعههای یک مجموعه n عضوی برابر است با:
تعداد زیرمجموعههای C، برابر با 64 است؛ پس:
بنابراین مجموعه C، شش عضو دارد.
طبق صورت سؤال، مجموعه C سه عضو بیشتر از مجموعه A دارد؛ پس مجموعه A، دارای 3 = 3 – 6 عضو خواهد بود.
در نتیجه تعداد زیرمجموعههای A برابر است با:
از طرفی تعداد زیرمجموعههای A، هشت برابر تعداد زیرمجموعههای B است. بنابراین:
با توجه به اینکه مجموعه B، فقط یک زیرمجموعه دارد، میتوان نتیجه گرفت که تهی است.
بنابراین گزینهی (د) صحیح است.
توجه!
تنها مجموعهای که دقیقاً یک زیرمجموعه دارد، مجموعهی تهی است.
سؤال 8
پاسخ تشریحی:
زیرمجموعههای سه عضوی که عدد 4 را حتماً داشته باشند به صورت زیر هستند:
شرط بعدی مسئله این است که، جمع عضوها برابر با 15 باشد؛ پس داریم:
بنابراین باید تمام زوج عددهایی که جمعشان برابر با 11 میشود را پیدا کنیم:
(توجه داشته باشید که اعضای مجموعه، اعداد طبیعی کوچکتر از 9 هستند، به همین دلیل مثلا اعداد 1 و 10 را نمیتوانیم در نظر بگیریم.)
از آنجایی که یکی از اعضای زیرمجموعهها از ابتدا 4 در نظر گرفته شده است، پس در اینجا زوج عدد 7 و 4 را نمیتوانیم انتخاب کنیم؛ زیرا 4 عضو تکراری خواهد بود.
بنابراین با توجه به اعدادی که پیدا کردیم، زیرمجموعهها به صورت زیر نوشته میشوند:
و گزینهی (ب) صحیح است.
سؤال 9
پاسخ تشریحی:
مجموعهی A، مجموعهی مضربهای صحیح عدد 3 بین 10 و 19 است. بنابراین:
همچنین داریم:
برای پیدا کردن اعضای مجموعهی B، باید عددهایی را پیدا کنیم که حاصل ضرب آنها در 3 -، یکی از اعضای A باشد.
پس برای هر عضو A داریم:
بنابراین:
و گزینهی (ج) صحیح است.
سؤال 10
پاسخ تشریحی:
اگر A زیرمجموعهی، A اشتراک B باشد، یعنی هر عضو A، در اشتراک دو مجموعهی A و B نیز وجود دارد.
از آنجا که اعضای اشتراک A و B باید همزمان عضو هر دو مجموعهی A و B باشند، تنها حالت ممکن به صورت زیر است:
در صورتیکه A زیرمجموعهی B باشد، اجتماع آنها برابر با مجموعهی بزرگتر، یعنی B خواهد بود:
و گزینهی (الف) صحیح است.
سؤال 11
پاسخ تشریحی:
چون مجموع کوچکترین و بزرگترین عضو باید برابر با 11 باشد، حالتهای ممکن برای این دو عضو به صورت زیر است:
(1,10) , (2,9) , (3,8) , (4,7) , (5,6)
برای درک بهتر، در ادامه هر حالت را جداگانه بررسی میکنیم.
1. کوچکترین عضو 1 و بزرگترین عضو 10 باشد: {10, … ,1}
اعضای بین 1 تا 10 عبارتاند از 2 تا 9؛ یعنی 8 عضو. دقت داشته باشید که هر یک از این 8 عضو میتوانند در زیرمجموعه باشند یا نباشند:
برای یادآوری روش حل، میتوانید توضیحات سؤال 6 را یک بار دیگر مرور کنید.
یعنی برای این حالت، 256 زیرمجموعه خواهیم داشت.
2. کوچکترین عضو 2 و بزرگترین عضو 9 باشد: {9, … ,2}
بین 2 تا 9، تعداد 6 عضو وجود دارد:
3. کوچکترین عضو 3 و بزرگترین عضو 8 باشد: {8, … ,3}
4 عضو بین آنها وجود دارد:
4. کوچکترین عضو 4 و بزرگترین عضو 7 باشد: {7, … ,4}
2 عضو بین آنها وجود دارد:
5. کوچکترین عضو 5 و بزرگترین عضو 6 باشد: {6 ,5}
هیچ عضوی بین آنها وجود ندارد، بنابراین در این حالت فقط یک زیرمجموعه داریم؛ یعنی همان {6 ,5}.
پس تعداد کل زیرمجموعهها برابر است با:
256 + 64 + 16 + 1 = 341
و گزینهی (ج) صحیح است.
سؤال 12
پاسخ تشریحی:
مجموعهی B به صورت زیر تعریف شده است:
برای محاسبه تعداد زیرمجموعه، باید بدانیم مجموعهی B چند عضو دارد؛ بنابراین ابتدا اعضای آن را پیدا میکنیم:
بدون حل معادله و با کمی دقت، میتوانیم عددهایی را که مکعب آنها با خودشان برابر است، پیدا کنیم:
پس داریم:
بنابراین مجموعهی B به صورت زیر نوشته میشود:
با توجه به اینکه این مجموعه 3 عضو دارد، تعداد زیرمجموعهها برابر است با:
و گزینهی (ج) صحیح است.
سؤال 13
پاسخ تشریحی:
داریم:
برای محاسبه تعداد زیرمجموعههای 15 عضوی، باید بدانیم مجموعهی A چند عضو دارد؛ بنابراین ابتدا اعضای آن را پیدا میکنیم؛ و برای این کار باید در مرحله اول عبارت را ساده کنیم:
پس باید:
با کمی دقت در عبارت بالا متوجه میشویم که، x باید یک مقسوم علیه صحیح عدد 40 باشد.
مقسوم علیههای مثبت عدد 40 عبارتند از:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
و برای مقسوم علیههای منفی عدد 40 هم داریم:
-1, -2, -4, -5, -8, -10, -20, -40
بنابراین مجموعه A در نهایت، 16 عضو دارد:
با توجه به اینکه مجموعه A دارای 16 عضو میباشد، پس تعداد زیرمجموعههای 15 عضوی آن برابر با 16 است!
و گزینهی (د) صحیح است.
نکته مهم!
تعداد زیرمجموعههای 1 – n عضوی از یک مجموعه n عضوی، برابر با n است.
با حل این سؤالات، مهمترین نکات و مفاهیم مجموعهها از فصل اول ریاضی نهم را مرور کردید. اگر بعضی از سؤالها برایتان دشوار بود، یک بار دیگر راه حل را با دقت بیشتری بررسی کنید تا نکات آن برایتان تثبیت شود.
در صورتی که در حل هر یک از سؤالها ابهامی داشتید یا سؤال دیگری برایتان پیش آمد، در بخش نظرات با ما در میان بگذارید.
با تمرین بیشتر، خود را برای موفقیت در آزمونهای تستی آماده کنید.
