در این مطلب از مدرسه رفلاین، سؤالات امتحان نهایی ریاضی دوازدهم تجربی خرداد 1405 را بررسی کردهایم و برای هر سؤال پاسخ تشریحی و نکات مهم آن را آورده ایم. در مباحثی که نیاز به توضیح بیشتری بوده یا اهمیت آموزشی بیشتری داشتهاند، یک درسنامه کوتاه و کاربردی نیز ارائه شده است تا با یادگیری نکات و مفاهیم هر سؤال، بتوانید به سؤالات مشابه نیز به راحتی پاسخ دهید.
در ادامه ابتدا تصاویر سؤالات امتحان نهایی را میبینید و سپس به بررسی و حل تشریحی هر سؤال میپردازیم.
بارم بندی فصلهای ریاضی دوازدهم تجربی در امتحان نهایی تیر 1405
| فصل | مبحث | بارم |
|---|---|---|
| فصل ۱ | تابع | ۳ |
| فصل ۲ | مثلثات | ۳ |
| فصل ۳ | حد بینهایت و حد در بینهایت | ۲ |
| فصل ۴ | مشتق | ۵ |
| فصل ۵ | کاربرد مشتق | ۳ |
| فصل ۶ | هندسه | ۲٫۵ |
| فصل ۷ | احتمال | ۱٫۵ |
| جمع | ۲۰ | |
در این مطلب میخوانید:
حل تشریحی سوال 1
الف)
نادرست
نکته مهم!
هر تابع اکیداً صعودی یکبهیک است ولی هر تابع صعودی یکبهیک نیست.
ب)
نادرست
fog و gof در حالت کلی برابر نیستند، ولی ممکن است گاهی باهم برابر باشند.
توجه!
هر جا در سؤال از عبارتهایی مثل “همیشه” یا “هیچوقت” استفاده شد، با دقت بیشتری بررسی کنید. در بسیاری از سؤالهای درست و نادرست، همین کلمات تعیین کننده پاسخ هستند.
پ)
درست
حل تشریحی سوال 2
الف)
گزینه 1) این تابع یکنوا است ولی اکیداً یکنوا نیست. زیرا در نمودار دو مقدار متفاوت برای x وجود دارد که مقدار تابع (y) در هر دو یکسان است. در تابع اکیداً صعودی باید با افزایش x، مقدار تابع حتماً افزایش پیدا کند.
نکته مهم!
اگر با افزایش X، مقدار تابع گاهی ثابت بماند؛ تابع هنوز میتواند یکنوا باشد ولی دیگر اکیداً یکنوا نیست.
گزینه 2) این تابع ابتدا نزولی و سپس صعودی است در صورتیکه هر تابع اکیداً یکنوا باید در تمام دامنه خود فقط صعودی یا فقط نزولی باشد.
گزینه 3) هر دو شاخه اکیداً نزولی هستند اما در نقطه x=0 یک پرش وجود دارد.
پ)
گزینه 3
یادمان باشد در انتقال توابع، تغییرات روی مقادیر X همیشه برعکس اعمال میشود.
در مختصات نقطه جدید، y تغییری نمیکند ولی مقادیر x نصف میشود.
حل تشریحی سوال 3
ابتدا فرمول دامنه تابع gof را مینویسیم. (برای فرمول نمره جداگانه در نظر گرفته میشود)
با توجه به رابطه بالا، باید قبل از هر کاری دامنه تابع f و دامنه تابع g را پیدا کنیم.
(یادآوری: برای محاسبه دامنه تابع رادیکالی، کافیست عبارت زیر رادیکال را بزرگتر مساوی صفر قرار داده و نامعادله را حل کنیم.)
در این مرحله باید دامنه توابع f و g و همچنین ضابطه تابع f در فرمول جایگذاری شوند:
نکته مهم!
در محاسبه دامنه تابع مرکب، باید همه شرطهای لازم برای تعریف تابع را در نظر بگیریم. یعنی در پایان، اشتراک جوابهای بدست آمده، دامنه تابع مرکب را مشخص میکند.
حل تشریحی سوال 4
ابتدا به جای f(x)، مینویسیم y:
x را تنها میکنیم:
و در مرحله آخر جای x و y را عوض میکنیم:
حل تشریحی سوال 5
الف)
با توجه به نمودار تابع، روی محور y ها عددی نداریم. پس فقط با دوره تناوب تابع کسینوس کار داریم.
ابتدا خط افقی وسط نمودار را رسم میکنیم:
حالا که دوره تناوب را پیدا کردیم کافیست آن را در فرمول دوره تناوب تابع کسینوس قرار دهیم:
ب)
حل تشریحی سوال 6
ابتدا باید معادله را به فرم استاندارد تبدیل کنیم:
حالا میتوانیم به سادگی مجموعه جوابها را بنویسیم. فقط دقت کنید که در مرحله نهایی،حتما x را بهدست آورید و مجموعه جوابها را بر حسب x بنویسید:
حل تشریحی سوال 7
اولین قدم در محاسبه حد، جایگذاری مقدار مورد نظر به جای x است. سپس نتیجه جایگذاری را بررسی میکنیم:
- اگر به یک عدد مشخص رسیدیم، همان عدد جواب حد است.
- اگر به حالت مبهم مثل 0/0 رسیدیم، با توجه به نوع عبارت، روش مناسب برای رفع ابهام را انتخاب میکنیم.
الف)
پس از جایگذاری به حالت مبهم 0/0 میرسیم. برای رفع ابهام، چون عبارت رادیکالی با فرجه 2 داریم، صورت و مخرج را در مزدوج عبارت ضرب میکنیم:
ب)
در این قسمت باید به جایگذاری x دقت کنیم. چون x از سمت چپ به 2 نزدیک میشود، میتوانیم آن را عددی کمی کوچکتر از 2، مثلاً 1/9 در نظر بگیریم. بنابراین وقتی به توان 2 برسد کمی کوچکتر از 4 و در نتیجه جواب مخرج منفی و نزدیک به صفر است یعنی صفر از سمت چپ.
در نهایت برای تشخیص علامت بینهایت، باید علامت صورت را در مخرج ضرب کنیم.
پ)
حل تشریحی سوال 8
نکته مهم!
در نقطه تماس همواره داریم :
شیب خط مماس بر تابع = مشتق تابع
پس باید مشتق و شیب خط مماس بر تابع را در نقطۀ x=1 محاسبه کرده و با هم برابر قرار دهیم:
حل تشریحی سوال 9
الف)
با توجه به فرمول داریم:
چون نیممماس چپ در نقطۀ x=-1 خواسته شده، پس باید ضابطۀ پایین که متعلق به xهای کوچکتر از 1- میباشد را به جای f(x)، در فرمول قرار دهیم:
ب)
خیر. زیرا تابع در نقطۀ x=-1 ناپیوسته است.
حل تشریحی سوال 10
الف)
ب)
حل تشریحی سوال 11
الف)
سرعت متوسط در بازۀ [4-,1]:
ب)
سرعت لحظهای در t=3:
حل تشریحی سوال 12
برای رسم جدول تغییرات و بررسی یکنوایی، ابتدا مشتق تابع را حساب میکنیم :
سپس ریشه های مشتق را بدست میآوریم:
و در نهایت با بررسی علامت مشتق، وضعیت یکنوایی تابع را مشخص میکنیم:
با توجه به جدول تغییرات، تابع در بازۀ (1,1-) اکیداً نزولی است.
حل تشریحی سوال 13
با توجه به نکات بالا و نمودار، جدول را کامل میکنیم:
(توجه داشته باشید که در جدول نوع اکسترمم نسبی خواسته شده است.)
حل تشریحی سوال 14
بیشترین مساحت مثلث خواسته شده است. پس اولین قدم نوشتن مساحت مثلث (تابع هدف) میباشد:
مرحله دوم محاسبه مشتق تابع مساحت و پیدا کردن ریشههای آن:
و در مرحله آخر جدول تغییرات را رسم میکنیم:
حل تشریحی سوال 15
ابتدا اطلاعات مسئله را یادداشت میکنیم و با توجه به پارامترهای داده شده و آنچه سوال خواسته است، فرمول مناسب را انتخاب میکنیم:
با توجه به اینکه فاصلۀ کانونی و خروج از مرکز بیضی را داریم، فرمول هر دو را مینویسیم و با جایگذاری، مقدار مورد نظر را بهدست میآوریم:
حل تشریحی سوال 16
طبق مراحل بالا ابتدا باید مرکز و شعاع دو دایره را بدست آورده و سپس فاصله مرکزها (d) را محاسبه کنیم:
حالا کافیست مجموع و تفاضل شعاعهای دو دایره را محاسبه کرده و آنها را با فاصله مرکز دو دایره (خط المرکزین) مقایسه کنیم:
در شکل زیر، حالتهای مختلف وضعیت دو دایره نسبت به یکدیگر را میبینید:
حل تشریحی سوال 17
