فصل اول کتاب ریاضی هفتم به یکی از مهم‌ترین مهارت‌های ریاضی، یعنی توانایی درست فکر کردن و حل مسئله اختصاص دارد؛ مهارتی که فقط برای حل سؤال‌های ریاضی به کار نمی‌آید و در بسیاری از موقعیت‌های زندگی هم به آن نیاز داریم.
با این حال، حل مسئله برای بسیاری از دانش‌آموزان دشوار است. گاهی مشکل از محاسبات نیست؛ بلکه به این دلیل است که نمی‌دانیم صورت سؤال دقیقاً چه می‌گوید، چه اطلاعاتی در اختیارمان گذاشته و در نهایت چه چیزی از ما می‌خواهد.
اما حل مسئله مهارتی است که با تمرین و دقت در خواندن و فکر کردن، بهتر می‌شود. فصل اول ریاضی هفتم فرصت خوبی است تا بیشتر با حل مسئله آشنا شویم، روش‌های مختلف فکر کردن برای رسیدن به پاسخ را تمرین کنیم و از پیدا کردن راه حل لذت ببریم.
در این مطلب از مدرسه رفلاین، سؤال‌های مهم و منتخب فصل اول ریاضی هفتم را به همراه پاسخ تشریحی گردآوری کرده‌ایم تا بتوانید با تمرین و تحلیل روش حل، آمادگی بیشتری برای امتحان به‌دست آورید.
سؤال 1
توپی از ارتفاع 27 متری سطح زمین رها می‌شود و پس از زمین خوردن، ثلث ارتفاع قبلی خود بالا می‌آید. این توپ تا چهارمین مرتبه که زمین میخورد، چند متر حرکت کرده است؟
پاسخ تشریحی:
توپ در ابتدا 27 متر به سمت پایین حرکت می‌کند و برای اولین بار به زمین میخورد. با توجه به اینکه پس از هر بار برخورد با زمین، ثلث ارتفاع قبلی بالا میرود، داریم:
پس از اولین برخورد، مقدار (9 = 3 ÷ 27) بالا میرود و به همان مقدار یعنی 9 متر پایین می‌آید. سپس به همین ترتیب، 3 متر بالا میرود و 3 متر پایین می‌آید. در مرحله بعد نیز 1 متر بالا میرود و 1 متر پایین می‌آید و برای بار چهارم به زمین برخورد می‌کند.
بنابراین مسافت طی شده تا چهارمین برخورد با زمین برابر است با:
27 + 9 + 9 + 3 + 3 + 1 + 1 = 53
پس توپ در مجموع 53 متر حرکت کرده است.
سؤال 2
تعدادی سکه 50 و 100 تومانی داریم. به چند حالت می‌توان کرایه 400 تومانی تاکسی را پرداخت کرد؟
پاسخ تشریحی:
با توجه به جدول بالا، به 5 حالت می‌توانیم کرایه 400 تومانی را پرداخت کنیم.
توجه!
برای پیدا کردن حالت‌های ممکن در مسائل مربوط به سکه یا اسکناس که در فصل اول آمده است، بهتر است در مرحله اول، تعداد سکه یا اسکناسی که ارزش بیشتری دارد را حداکثر مقدار ممکن در نظر بگیریم. سپس در هر مرحله از تعداد آن کم کرده و به تعداد سکه دیگر اضافه می‌کنیم.
به این ترتیب، همه حالت‌های ممکن را بدون اینکه موردی از قلم بیفتد یا تکراری نوشته شود، پیدا خواهیم کرد.
سؤال 3
مجموع دو عدد 7 و حاصل‌ضرب آن‌ها 12 می‌باشد. عدد بزرگ‌تر کدام است؟
پاسخ تشریحی:
وقتی مجموع و حاصل‌ضرب دو عدد را داریم، باید حالت‌های مختلفی را که مجموعشان، برابر با عدد داده شده است بررسی کنیم و سپس حاصل‌ضرب هر حالت را به‌دست آوریم.
در این سؤال، چون مجموع دو عدد باید 7 باشد، حالت‌های ممکن را می‌نویسیم. حالتی که حاصل‌ضرب آن برابر با 12 باشد، پاسخ سؤال است.
با توجه به جدول بالا، از میان حالت‌هایی که مجموعشان 7 است، فقط حاصل‌ضرب 3 و 4 برابر با 12 می‌شود.
بنابراین عدد بزرگ‌تر برابر با 4 می‌باشد.
سؤال 4
باغچه‌ای به شکل مستطیل به طول 20 و عرض 15 متر داریم. می‌خواهیم دورتادور باغچه به فاصله‌ی 2 متر از لبه‌های آن نرده بکشیم. چند متر نرده نیاز داریم؟
پاسخ تشریحی:
توجه داشته باشید که، چون نرده از هر چهار ضلع مستطیل 2 متر فاصله دارد، بنابراین باید 4 متر به طول و 4 متر به عرض مستطیل اضافه شود.
به این ترتیب طول و عرض نرده برابر است با:
20 + 2 + 2 = 24 طول
15 + 2 +2 = 19 عرض
بنابراین محیط مستطیل جدید برابر است با:
2(24 + 19) = 86
پس 86 متر نرده نیاز داریم.
سؤال 5
قورباغه‌ای پایین یک درخت 8 متری ایستاده است. او با هر جهش 2 متر به طرف بالا حرکت می‌کند و 0,5 متر به سمت پایین لیز میخورد. او با چند جهش به بالای درخت می‌رسد؟
پاسخ تشریحی:
قورباغه در هر جهش، 2 متر بالا میرود و 0,5 متر پایین می‌آید. پس ارتفاع قورباغه پس از هر جهش به این صورت است:
0 + 2 – 0,5 = 1,5 جهش اول
1,5 + 2 – 0,5 = 3 جهش دوم
3 + 2 – 0,5 = 4,5 جهش سوم
4,5 + 2 – 0,5 = 6 جهش چهارم
6 + 2 = 8 جهش پنجم
توجه کنید که در جهش پنجم، قورباغه از ارتفاع 6 متری، 2 متر بالاتر میرود، به ارتفاع 8 متر، یعنی بالای درخت، می‌رسد و دیگر به پایین لیز نمی‌خورد!
پس قورباغه با 5 جهش به بالای درخت می‌رسد.
سؤال 6
دو عدد طبیعی پیدا کنید که حاصل‌ضرب آن‌ها 54 و مجموع آن‌ها کمترین مقدار ممکن باشد.
پاسخ تشریحی:
در این سؤال حاصل‌ضرب دو عدد برابر با 54 است و می‌خواهیم کمترین مجموع ممکن را پیدا کنیم. بنابراین حالت‌های مختلفی را که حاصل‌ضرب دو عدد در آن‌ها 54 می‌شود، بررسی می‌کنیم.
برای این کار از عدد 1 شروع کرده و جفت عددهای مناسب را به‌دست می‌آوریم. سپس مجموع هر جفت را محاسبه می‌کنیم:
با توجه به جدول بالا، کمترین مجموع برابر است با 15 که مربوط به دو عدد 6 و 9 می‌باشد.
سؤال 7
حاصل عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.
پاسخ تشریحی:
الف)
در این عبارت، صورت هر کسر با مخرج کسر قبل از خودش ساده می‌شود و در نهایت فقط صورت کسر اول و مخرج کسر آخر باقی می‌ماند.
ب)
ابتدا جواب هر پرانتز را به دست آورده و آن را به یک کسر تبدیل می‌کنیم:
با توجه به اینکه بین پرانتزها علامتی نوشته نشده است، منظور ضرب عبارت‌های داخل پرانتز است. در نهایت در حاصل‌ضرب به‌دست آمده، صورت هر کسر با مخرج کسر بعدی ساده می‌شود و داریم:
ج)
در این عبارت با کنار هم قرار دادن دو جمله اول داریم:
سپس جمله بعدی را اضافه می‌کنیم:
با کمی دقت متوجه می‌شویم که در هر مرحله، مخرج حاصل جمع، برابر با مخرج کسر آخر؛ و صورت آن، یک واحد کم‌تر از مخرج می‌باشد.
بنابراین با ادامه دادن همین الگو، حاصل عبارت برابر است با:
د)
کسرهای بعد از عدد 2، همان الگوی قسمت (ج) را دارند. بنابراین:
سؤال 8
در یک پارکینگ 20 دستگاه موتور و اتومبیل وجود دارد. اگر تعداد کل چرخ‌های آن‌ها 64 عدد باشد، چند اتومبیل و چند موتور در پارکینگ وجود دارد؟
پاسخ تشریحی:
در این سؤال، تعداد کل وسایل نقلیه 20 تاست. بنابراین برای پیدا کردن تعداد اتومبیل‌ها و موتورها، در مرحله اول 10 اتومبیل و 10 موتور در نظر می‌گیریم.
از آنجا که هر اتومبیل 4 چرخ و هر موتور 2 چرخ دارد، تعداد چرخ‌های هر حالت را محاسبه می‌کنیم تا به 64 چرخ برسیم:
با توجه به جدول بالا، در حالت 12 اتومبیل و 8 موتور، تعداد چرخ‌ها برابر 64 شد.
توجه!
در سؤال‌هایی که که تعداد کلِ دو نوع وسیله را داریم، بهتر است ابتدا تعداد هر دو نوع را برابر و نصف تعداد کل در نظر بگیریم و سپس با توجه به اطلاعات سؤال، تعداد آن‌ها را تغییر دهیم.
سؤال 9
پس‌انداز هفتگی روشا 200 هزار تومان است. او حساب کرده 12 هفته پس‌انداز او، نصف قیمت کیفی است که دوست دارد بخرد. قیمت کیف چند تومان است؟
پاسخ تشریحی:
روشا در هر هفته 200 هزار تومان پس‌انداز می‌کند. بنابراین مقدار پس‌انداز او پس از 12 هفته برابر است با:
12 × 200000 = 2400000
این مبلغ نصف قیمت کیف است؛ پس برای به‌دست آوردن قیمت کامل کیف، باید آن‌را در 2 ضرب کنیم:
2400000 × 2 = 4800000
بنابراین قیمت کیف 4 میلیون و 800 هزار تومان است.
سؤال 10
جمله‌ی n اُم الگوهای زیر را بنویسید.
الف) … , 7 , 5 , 3 , 1
ب) … , 8 , 6 , 4 , 2
پ) … , 13 , 10 , 7 , 4
نکته مهم!
برای پیدا کردن جمله nاُم در الگوهای عددی با اختلاف ثابت، ابتدا اختلاف بین جمله‌های متوالی را پیدا می‌کنیم. این اختلاف، ضریب n را مشخص می‌کند؛ سپس با بررسی جمله اول، عدد ثابت را به‌دست می‌آوریم.
در این رابطه، n نشان‌دهنده‌ی شماره جمله است؛ یعنی برای جمله اول 1 = n، برای جمله دوم 2 = n و به همین ترتیب ادامه پیدا می‌کند.
پاسخ تشریحی:
الف:
1 , 3 , 5 , 7 , …
در این الگو اختلاف جمله‌های متوالی 2 است؛ بنابراین ضریب n برابر 2 خواهد بود:
برای پیدا کردن عدد ثابت، n را برابر با 1 قرار می‌دهیم و باید جمله اول الگو که آن هم برابر با 1 می‌باشد به‌دست بیاید، در صورتی‌که با قرار دادن 1 به جای n، عدد 2 حاصل می‌شود. پس باید آن را منهای یک کنیم تا به جمله اول الگو برسیم:
در نتیجه:
ب:
در این الگو اختلاف جمله‌های متوالی 2 است و جمله اول هم 2 می‌باشد. بنابراین:
پ:
4 , 7 , 10 , 13 , …
در این الگو اختلاف جمله‌های متوالی 3 است؛ بنابراین ضریب n برابر 3 خواهد بود.
برای اینکه جمله اول برابر با 4 شود:
بنابراین:
