معادلات درجه دوم یکی از پایه ای ترین مباحث ریاضی هستند و معمولا به شکل زیر دیده میشوند:
برای حل معادله درجه دوم روش های مختلفی وجود دارد:
- فرمول کلی (دلتا)
- تجزیه
- ریشه گیری
- مربع کامل
در این مطلب از مدرسه رفلاین با یکی از مهم ترین روش های حل معادلات درجه دوم یعنی (روش تجزیه) آشنا میشویم و با حل چند مثال مهم و نکته دار، مرحله به مرحله نکات مهم آن را توضیح میدهیم.
در این مطلب میخوانید:
دو حالت مهم در تجزیه معادلات درجه دوم
اولین قدم در تجزیه معادله درجه دوم توجه به ضریب X به توان دو (X^2) میباشد. بر اساس این ضریب، معادلات درجه دوم به دو دسته تقسیم میشوند و روش تجزیه در هر کدام کمی متفاوت است. به این صورت که اگر این ضریب برابر با 1 باشد، تجزیه خیلی سریع انجام میشود. اما اگر ضریب x به توان دو عددی غیر از 1 باشد، باید معادله را به روشی متفاوت تجزیه کنیم و معمولا این حالت بیشتر مورد توجه طراحان سوال در مقطع دهم میباشد.
در ادامه هر دو حالت را به صورت جداگانه با حل مثال بررسی میکنیم.
حالت اول:
در این حالت ضریب X به توان دو، برابر با یک میباشد. برای تجزیه معادله کافیست مراحل زیر را دنبال کنید و در نهایت معادله به راحتی حل میشود.
1) در صورت نیاز همه جملات دنباله را به یک طرف تساوی منتقل میکنیم. در واقع معادله باید به شکل استاندارد نوشته شود:
2) پیدا کردن دو عدد مناسب:
توجه!
با کمی حدس و آزمایش و حل چند مثال این عدد به راحتی پیدا میشوند. نکته مهم در این مرحله این است که به علامت b و c دقت کنیم.
3) نوشتن معادله به فرم تجزیه شده:
در این مرحله معادله را به صورت دو پرانتز مینویسیم و اعدادی را که در مرحله قبل پیدا کردیم (به همراه علامت) در پرانتز ها به شکل زیر قرار میدهیم.
4) پیدا کردن جواب ها:
بالاخره رسیدیم به آخرین و ساده ترین مرحله. کافیست هر کدام از پرانتز ها را جداگانه برابر صفر قرار داده و پاسخ نهایی را پیدا کنیم.
حالا که با مراحل حل آشنا شدید، با حل چند مثال این روش را تمرین میکنیم. معادلات زیر به گونه ای انتخاب شده اند که دقت در علامت ها نقش مهمی در رسیدن به پاسخ صحیح دارد.
مثال 1
معادلات زیر را به روش تجزیه حل کنید.
حل:
دنبال دو تا عدد میگردیم که:
دو عدد بدست آمده را به همراه علامتشان در پرانتز ها و کنار X قرار میدهیم:
حل:
حل:
حل:
حالت دوم:
در این حالت که مهم تر از حالت اول است فقط یک مرحله در اول و یک مرحله در آخر به راه حل ما اضافه میشود و با دنبال کردن مراحل زیر به سادگی معادله حل میشود:
1) مانند حالت اول در ابتدا باید همه جملات معادله به یک طرف تساوی منتقل شوند.
2) حالا باید a (ضریب x به توان دو) را در c (عددثابت معادله) ضرب کنیم و عدد حاصل را به جای c قرار دهیم. سپس ضریب کنار x به توان دو را برابر 1 در نظر میگیریم.
نکته مهم!
مرحله دوم مهم ترین و شاید در ابتدای کار سخت ترین مرحله باشد. توجه داشته باشید که از اینجا به بعد با معادله جدیدی که نوشتیم کار میکنیم.
مراحل 3 و 4 مانند حالت اول انجام میشوند. برای مرور هر مرحله، روی عنوان آن کلیک کنید.
5) پیدا کردن جواب ها
مانند حالت اول هر کدام از پرانتز ها را جداگانه برابر صفر قرار داده و جواب ها را پیدا میکنیم:
توجه!
روش تجزیه فقط وقتی خوب و سریع جواب میده که:
- عددها ساده باشند.
- به راحتی دو عدد را پیدا کنیم.
اگر عددها سخت شدند و به راحتی زوج مناسب را پیدا نکردی و مهم تر از همه اینکه سوال مجبورت نکرده بود از روش تجزیه حل کنی، سریع برو سراغ فرمول دلتا ( که البته طولانی تره ولی حتما جواب میده).
حالا برای تسلط بیشتر به مثال های زیر توجه کنید. فقط به خاطر داشته باشید که دو مرحله به روش حل اضافه میشود و سایر مراحل دقیقا مانند حالت اول انجام میشود.
مثال 2
معادلات زیر را به روش تجزیه حل کنید.
حل:
حل:
حل:
جمع بندی:
پیش از شروع تجزیه معادله درجه دوم، ابتدا موارد زیر را بررسی کنید:
1. اگر
باشد،
مستقیما معادله را تجزیه کنید.
2. اگر
باشد،
ابتدا معادله را برای تجزیه آماده کنید.
