رفلاین هشتم تعیین عددهای اول با الگوریتم غربال | مثال حل شده | ریاضی هشتم

تعیین عددهای اول با الگوریتم غربال | مثال حل شده | ریاضی هشتم

آموزش الگوریتم غربال برای تعیین اعداد اول

یکی از روش های مهم و کاربردی برای پیدا کردن اعداد اول در یک بازه‌ی عددی، استفاده از الگوریتم غربال می‌باشد. به دلیل اهمیت این موضوع در ریاضی پایه‌ی هشتم، در این آموزش از مدرسه رفلاین، الگوریتم غربال را مرحله به مرحله یاد می‌گیریم و با حل مثال، نحوه‌ی تعیین اعداد اول در یک بازه مشخص را بررسی می‌کنیم.

برای مطالعه و یادگیری سؤال‌های چالشی‌تر این مبحث، می‌توانید به مقاله‌ی الگوریتم غربال | مثال‌های چالشی + پاسخ تشریحی | ریاضی هشتم مراجعه کنید.

برای یادگیری بهتر این روش، در ادامه مراحل به‌دست آوردن اعداد اول 1 تا 40 را بررسی می‌کنیم:

برای اجرای الگوریتم غربال، مضرب‌های اعداد اول را به ترتیب خط می‌زنیم:

مرحلۀ اول:

ابتدا عدد 1 را که نه اول است و نه مرکب خط می‌زنیم. سپس مضرب‌های عدد 2 (به غیر از خودش) را که همگی مرکب هستند، خط می‌زنیم. توجه داشته باشید که اولین مضرب 2 که خط می‌خورد 2 به توان 2 یا 4 می‌باشد.

مرحلۀ دوم:

همه مضرب‌های 3 (به غیر از خودش) را خط می‌زنیم. توجه کنید که مضرب‌های 6، 12، 18 و … به خاطر اینکه مضرب 2 نیز هستند، در مرحله قبل خط خورده اند. اولین عددی که در این مرحله خط می‌خورد، عدد 3 به توان 2 یا 9 است.

مرحلۀ سوم:

مضرب‌های 5 (به غیر از خودش) را خط می‌زنیم. بعضی از مضرب‌های 5 مانند 10، 15، 20 و … قبلا خط خورده اند. اولین مضرب 5 که خط می‌خورد، عدد 5 به توان 2 یا 25 است.

مرحلۀ چهارم:

حال اگر بخواهیم مضرب‌های 7 را خط بزنیم، اولین عددی که باید خط بخورد 7 به توان 2 یا 49 است که در بین اعداد نیست. پس الگوریتم کامل است و دیگر خط زدن را ادامه نمی‌دهیم.

اکنون دور اعداد باقی مانده را خط می‌کشیم. این اعداد، اعداد اول بین 1 تا 40 می‌باشند.

حال برای اینکه با سوالات تعیین اعداد اول بیشتر آشنا شویم، در ادامه به حل چند مثال مهم می‌پردازیم:

سؤال 1

اعداد اول 51 تا 70 را به کمک غربال مشخص کنید و به سوالات زیر پاسخ دهید:

الف) عدد 63 به کمک مضرب‌های کدام عدد خط می‌خورد؟

ب) کدام عدد به عنوان آخرین عدد خط می‌خورد؟

پ) اولین عددی که به کمک مضرب‌های 3 خط می‌خورد کدام است؟

پاسخ تشریحی:

ابتدا اعداد 51 تا 70 را می‌نویسیم. سپس مضرب‌های اعداد اول (2، 3، 5 و 7) را به ترتیب خط می‌زنیم.

توجه داشته باشید که چون 11 به توان 2، یعنی 121، از 70 بزرگ‌تر است، لازم نیست مضرب‌های 11 را بررسی کنیم!

در مرحله اول مضرب‌های عدد 2 (به غیر از خودش) را خط می‌زنیم:

در مرحله دوم مضرب‌های عدد 3 (به غیر از خودش) را خط می‌زنیم:

در مرحله سوم مضرب‌های عدد 5 (به غیر از خودش) را خط می‌زنیم:

و در مرحله آخر باید مضرب‌های عدد 7 (به غیر از خودش) را خط بزنیم؛ همانطور که می‌بینیم قبلا همگی خط خورده‌اند. اعدادی که باقی مانده‌اند، اعداد اول 51 تا 70 هستند و فقط کافی است دور آنها را خط بکشیم: