دنباله‌های حسابی و هندسی از مباحث مهم ریاضی دهم هستند. آشنایی با نکات و کاربرد فرمول‌های هر دنباله، نقش مهمی در یافتن پاسخ صحیح سؤال‌های امتحانی دارد.
در این مطلب از مدرسه رفلاین، مجموعه‌ای سؤال‌های منتخب و مهم را همراه با پاسخ‌های تشریحی بررسی می‌کنیم تا با شیوه طرح سؤال از این مبحث آشنا شوید و برای امتحان ریاضی دهم آمادگی بیشتری پیدا کنید.
در این مطلب می‌خوانید:
سؤال 1
مقدار m را چنان بیابید که جملات زیر تشکیل دنباله حسابی دهند.
2m + 1 , m – 5 , m + 2
پاسخ تشریحی:
برای اینکه سه عبارت داده شده، سه جمله متوالی یک دنباله حسابی باشند، باید داشته باشیم:
حالا کافی است معادله بالا را ساده کرده و حل کنیم.
سؤال 2
در یک دنباله حسابی، جمله‌های پنجم و یازدهم به ترتیب برابر با 4 و 24 هستند. جمله بیستم دنباله را به‌دست آورید.
پاسخ تشریحی:
ابتدا قدرنسبت دنباله حسابی را با داشتن جمله‌های پنجم و یازدهم به‌دست می‌آوریم.
برای محاسبه جمله بیستم، می‌توانیم آن را بر حسب یکی از جمله‌های پنجم یا یازدهم که به ما داده شده است بنویسیم:
پس جمله بیستم دنباله برابر است با:
سؤال 3
در یک دنباله حسابی، جمله‌های پنجم و دوازدهم به ترتیب برابر با 2 و 44 می‌باشند. جمله اول و قدرنسبت دنباله را به‌دست آورده و سپس جمله عمومی دنباله را بنویسید.
پاسخ تشریحی:
با داشتن جمله‌های پنجم و دوازدهم، به راحتی می‌توانیم قدرنسبت دنباله حسابی را محاسبه کنیم:
برای به‌دست آوردن جمله اول، از رابطۀ جمله عمومی دنباله حسابی استفاده می‌کنیم.
برای نوشتن جمله عمومی، کافی است جمله اول و قدرنسبت را در رابطۀ جمله عمومی دنباله حسابی جایگذاری کنیم:
سؤال 4
در یک دنباله حسابی که جمله‌های اول و پنجم آن به ترتیب برابر با 3 و 19 می‌باشند، عدد 55 جمله چندم دنباله است؟
پاسخ تشریحی:
ابتدا قدرنسبت دنباله حسابی را محاسبه می‌کنیم:
برای تعیین شماره جمله‌ای که مقدار آن 55 است، از رابطۀ جمله عمومی دنباله حسابی استفاده می‌کنیم:
حالا کافی است جمله اول، قدرنسبت و عدد 55 را در جمله عمومی جایگذاری کرده و آن را حل کنیم:
بنابراین عدد 55، جمله چهاردهم این دنباله می‌باشد.
توجه!
هرگاه جمله اول و قدرنسبت یک دنباله حسابی را داشته باشیم، می‌توانیم با استفاده از رابطۀ جمله عمومی، شمارۀ هر جمله دلخواه را پیدا کنیم.
سؤال 5
بین دو عدد 18 و 62، سه عدد چنان درج کنید که پنج جمله تشکیل دنباله حسابی دهند.
پاسخ تشریحی:
با قرار دادن سه عدد بین 18 و 62، یک دنباله حسابی 5 جمله‌ای خواهیم داشت که جملۀ اول و پنجم آن به ترتیب برابر با 18 و 62 هستند:
ابتدا قدرنسبت دنباله حسابی را محاسبه می‌کنیم:
برای نوشتن دنباله حسابی، کافی است از جملۀ اول شروع کنیم و در هر مرحله، قدرنسبت 11 را به جملۀ قبلی اضافه کنیم:
18 , 29 , 40 , 51 , 62
سؤال 6
در یک دنباله حسابی، مجموع جمله‌های دهم تا شانزدهم 70 است. جملۀ سیزدهم دنباله چند است؟
پاسخ تشریحی:
چون 13 + 13 = 16 + 10، طبق قانون اندیس‌ها داریم:
به همین ترتیب:
با توجه به اینکه مجموع جمله‌های دهم تا شانزدهم برابر با 70 است، خواهیم داشت:
مقدارهای به‌دست آمده را به جای جمله‌های دنباله جایگذاری می‌کنیم:
سؤال 7
مجموع سه عدد متوالی که تشکیل دنباله حسابی می‌دهند 33 و حاصل‌ضرب آن‌ها 1287 است. سه عدد را بیابید.
نکته مهم!
هرگاه تعدادی فرد از جمله‌های متوالی یک دنباله حسابی را داشته باشیم، بهترین روش این است که جمله‌های دنباله را بر حسب جملۀ وسط مرتب کنیم.
به این صورت که جملۀ وسط را a در نظر بگیریم و جمله‌های قبلی و بعدی را با کم کردن و اضافه کردن قدرنسبت بنویسیم:
پاسخ تشریحی:
برای حل این سؤال، سه جملۀ متوالی دنباله حسابی را به صورت زیر در نظر می‌گیریم:
که در آن، a جمله وسط و d قدرنسبت دنباله است.
طبق صورت سؤال، مجموع سه عدد برابر با 33 است. بنابراین:
با حذف d و d -، داریم:
پس سه جملۀ متوالی دنباله به صورت زیر خواهند بود:
می‌دانیم حاصل‌ضرب سه عدد برابر با 1287 است. بنابراین:
از آنجا که با تغییر علامت قدرنسبت دنباله حسابی، فقط ترتیب سه جمله عوض می‌شود، در هر دو حالت سه عدد یکسان به‌دست می‌آید.
در صورتی‌که قدرنسبت را برابر با 2 در نظر بگیریم، سه عدد برابرند با:
9 , 11 , 13
سؤال 8
اگر 3 + x و 2 + x و 5 + x ، سه جملۀ متوالی از یک دنباله هندسی باشند، مقدار x را تعیین کنید.
پاسخ تشریحی:
برای اینکه سه عبارت داده شده یک دنباله هندسی تشکیل دهند، باید داشته باشیم:
با حل معادله داریم:
سؤال 9
در یک دنباله هندسی، حاصل‌ضرب جمله هفتم در جمله بیستوهفتم برابر با 81 است. جمله هفدهم دنباله را تعیین کنید.
پاسخ تشریحی:
با توجه به اینکه جمله‌های هفتم و بیستوهفتم را داریم و جمله هفدهم خواسته شده است، ابتدا جمله‌های داده شده را بر حسب جمله هفدهم می‌نویسیم.
طبق صورت سؤال حاصل‌ضرب جمله هفتم و بیستوهفتم برابر با 81 است. پس:
از آنجا که حاصل‌ضرب r به توان 10 و r به توان 10 – برابر با 1 است، رابطۀ بالا ساده می‌شود:
بنابراین جمله هفدهم دنباله می‌تواند برابر با 9 یا 9 – باشد.
روش دوم:
در دنباله بالا، جمله هفدهم دقیقاً وسط جمله‌های هفتم و بیستوهفتم قرار دارد:
بنابراین:
طبق صورت سؤال:
پس جمله هفدهم به توان 2 برابر با 81 خواهد بود و داریم:
سؤال 10
در یک دنباله هندسی، جمله‌های پنجم و نهم به ترتیب برابر با 3 – و 12 – می‌باشند. قدرنسبت و جمله پانزدهم دنباله را به‌دست آورید.
پاسخ تشریحی:
برای محاسبه قدرنسبت از رابطۀ بین دو جملۀ دنباله هندسی استفاده می‌کنیم:
برای به‌دست آوردن جملۀ پانزدهم، می‌توانیم به دلخواه از جمله پنجم یا نهم استفاده کنیم. در صورت استفاده از جمله پنجم خواهیم داشت:
چون توانِ رادیکال دو عددی زوج است، حاصل آن در هر دو حالت مثبت خواهد شد:
سؤال 11
در یک دنباله هندسی، جمله دوم برابر با 3 و جمله ششم برابر با سه شانزدهم می‌باشد. شش جمله اول دنباله را بنویسید.
پاسخ تشریحی:
ابتدا باید قدرنسبت دنباله هندسی را به‌دست آوریم.
پس دنباله هندسی می‌تواند دو قدرنسبت متفاوت داشته باشد. هر حالت را جداگانه بررسی می‌کنیم:
حالت اول:
(دنباله هندسی با قدرنسبت مثبت)
با داشتن قدرنسبت و جمله دوم، می‌توانیم به روش زیر جمله اول را پیدا کنیم.
بنابراین جمله اول برابر با 6 است و دنباله با قدرنسبت مثبت به صورت زیر نوشته می‌شود:
حالت دوم:
(دنباله هندسی با قدرنسبت منفی)
در این حالت جمله اول برابر با 6 – است و دنباله با قدرنسبت منفی به صورت زیر خواهد بود:
توجه!
در دنباله هندسی اگر قدرنسبت عددی منفی باشد، جمله‌های دنباله یک‌درمیان مثبت و منفی هستند. و در صورتی‌که قدرنسبت عددی مثبت باشد، همه جمله‌ها هم علامت خواهند بود.
