الگوریتم غربال یکی از روشهای مهم برای پیدا کردن عددهای اول در ریاضی هشتم است. در مقالۀ «تعیین عددهای اول با الگوریتم غربال | مثال حل شده | ریاضی هشتم»، روش اجرای غربال و نکات مقدماتی آن را با چند مثال ساده توضیح دادهایم.
در این مطلب از مدرسه رفلاین، سؤالهای چالشیتر و نکتهدار الگوریتم غربال را بررسی کردهایم و نکات مهم و پرتکرار امتحانی را به طور کامل توضیح دادهایم. این آموزش مکمل مطلب قبلی است و با بررسی سؤالهایی با سطح بالاتر، به شما کمک میکند برای حل سؤالهای دشوارتر و امتحانات ریاضی هشتم آماده شوید.
سؤال 1
در الگوریتم غربال اعداد 1 تا 100، به پرسشهای زیر پاسخ دهید:
الف) اولین عددی که خط میخورد؟
ب) آخرین عددی که خط میخورد؟
پ) اولین مضرب 3 که برای اولین بار خط میخورد؟
ت) غربال را تا کجا ادامه میدهیم؟
ج) آخرین مضرب 5 که برای اولین بار خط میخورد؟
چ) پنجاه و یکمین عددی که خط میخورد کدام است؟
د) هفتادمین عددی که خط میخورد کدام است؟
پاسخ تشریحی:
الف)
عدد 1 نه اول است و نه مرکب؛ بنابراین همیشه در ابتدای الگوریتم خط میخورد.
ب)
با توجه به نکتۀ بالا داریم:
یعنی در غربال اعداد 1 تا 100، باید مضربهای اعداد اول کوچکتر یا مساوی 10 را بررسی کنیم:
2, 3, 5 , 7
پس آخرین عددی که خط میخورد از مضارب 7 و عدد 91 = 7 × 13 میباشد.
پ)
اولین مضرب 3 که برای اولین بار خط میخورد برابر است با:
نکته مهم!
اولین مضرب هر عدد اولی که برای اولین بار خط میخورد برابر با مجذور (مربع) آن عدد اول میباشد.
ت)
اعداد اولی که مضربهایشان خط میخورد باید کوچکتر یا مساوی 10 باشند:
2, 3, 5, 7
بنابراین کافی است الگوریتم غربال را تا خط زدن مضربهای عدد 7 ادامه دهیم.
ج)
مضربهای 5 را از مجذور عدد 5 یعنی 25 بررسی میکنیم؛ چون مضربهای کوچکتر از آن (10, 15 ,20) در مراحل قبلی خط خوردهاند!
بنابراین مضربهای 5 که برای اولین بار خط میخورند عبارتند از:
25, 35, 55, 65, 85, 95
پس آخرین مضرب 5 که برای اولین بار خط میخورد، عدد 95 میباشد.
چ)
ابتدا عدد 1 خط میخورد. (نه اول است و نه مرکب)
در مرحلۀ بعد باید مضارب عدد 2 را خط بزنیم. تمام مضربهای 2، از مجذور عدد 2 یعنی 4 تا آخرین مضرب، یعنی 100، خط میخورند:
4, 6, 8, … , 100
تعداد این اعداد برابر است با:
تا این مرحله در مجموع 50 = 49 + 1 عدد خط خورده است.
بنابراین پنجاه و یکمین عدد در مرحلۀ بعد، یعنی هنگام خط زدن مضربهای 3، بهدست میآید. اولین مضرب 3 که برای اولین بار خط میخورد، مربع عدد 3 یعنی 9 میباشد.
پس پنجاه و یکمین عددی که خط میخورد برابر است با 9.
د)
ابتدا عدد 1 و مضربهای 2 خط میخورند که تعداد آنها در مجموع 50 تا است.
در مرحلۀ بعد باید مضربهای عدد 3 را خط بزنیم. مضربهای 3 که برای اولین بار خط میخورند عبارتند از:
9, 15, 21, 27, … , 99
با توجه به اینکه فاصلۀ هر دو عدد متوالی در الگوی بالا برابر با عدد ثابت 6 میباشد، میتوانیم به راحتی تعداد آنها را بهدست آوریم:
تا این مرحله در مجموع 66 = 16 + 50 عدد خط خورده است.
پس از آن باید مضربهای عدد 5 که قبلاً خط نخوردهاند (مضرب 2 و 3 نیستند) را خط بزنیم. پس هفتادمین عدد، چهارمین عددی است که از مضارب 5 خط میخورد:
25, 35, 55, 65
بنابراین عدد 65، هفتادمین عددی است که خط میخورد.
سؤال 2
عدد 45 ابتدا در مضارب کدام عدد اول خط میخورد؟
نکته مهم!
در روش الگوریتم غربال، برای اینکه بفهمیم یک عدد در مضربهای کدام عدد اول خط میخورد، باید اول آن را تجزیه کنیم. کوچکترین عامل اول جواب ما میباشد.
پاسخ تشریحی:
ابتدا عدد 45 را تجزیه میکنیم:
چون 3 کوچکترین عامل اول عدد 45 میباشد، پس این عدد ابتدا در مضربهای 3 خط میخورد.
سؤال 3
برای پیدا کردن اعداد اول 1 تا 300، باید مضربهای کدام اعداد اول خط بخورند؟
پاسخ تشریحی:
در الگوریتم غربال 1 تا 300، باید اعداد اول کوچکتر یا مساوی رادیکال 300 را بررسی کنیم:
بنابراین مضربهای آخرین عدد اولی که باید در الگوریتم غربال 1 تا 300 بررسی شود، عدد 17 است. یعنی کافی است مضربهای اعداد اول:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
را خط بزنیم.
سؤال 4
ترتیب خط خوردن اعداد 489، 77، 252 و 125 را در غربال 1 تا 500 مشخص نمایید.
پاسخ تشریحی:
ابتدا باید مشخص کنیم هر یک از اعداد در مضربهای کدام عدد اول خط خوردهاند؛ و برای این کار باید اول آنها را تجزیه کنیم:
بنابراین ترتیب خط خوردن این اعداد از چپ به راست مطابق زیر است:
252, 489, 125, 77
سؤال 5
در روش غربال برای یافتن اعداد اول 1 تا 100، عدد 60 چندمین عددی است که خط میخورد؟
پاسخ تشریحی:
ابتدا عدد 1 خط میخورد. (نه اول است و نه مرکب)
سپس مضربهای 2 خط میخورند؛ و عدد 60 جزء مضارب 2 میباشد. با توجه به اینکه:
30 × 2 = 60
بنابراین عدد 60 سیاُمین مضرب 2 است. توجه داشته باشید که خود عدد 2 که اولین مضرب است به دلیل اول بودن خط نمیخورد ولی به جای آن عدد 1 خط خورده است. در نتیجه 60 همان سیاُمین عددی است که خط میخورد.
جمع بندی نکات مهم الگوریتم غربال:
- در الگوریتم غربال تعیین اعداد اول 1 تا n، همواره اولین عددی که خط میخورد 1 میباشد، زیرا عدد یک نه اول است و نه مرکب.
- در روش غربال، اولین مضرب هر عدد اول که برای اولین بار خط میخورد، مجذور آن عدد میباشد.
- در الگوریتم غربال اعداد 1 تا n، برای مشخص کردن آخرین عدد اولی که مضربهایش خط میخورد، کافی است بزرگترین عدد اول کمتر یا مساوی رادیکال n را بهدست آوریم. (این نکته برای اینکه بدانیم غربال تا کجا ادامه مییابد یا مضربهای کدام اعداد اول خط میخورند هم استفاده میشود.)
- در الگوریتم غربال برای اینکه بفهمیم یک عدد در مضربهای کدام عدد اول خط خورده است، ابتدا عدد را تجزیه میکنیم. کوچکترین عامل اول جواب ما میباشد.
